i 可以怎麼出場 ─兼評可汗學院的教法（上）

◎史英

〈可汗學院為什麼不肯精進教學？〉一文中，我提出了一些和流行觀點不同的評論；為了避免淪為抽象的言詞，應該舉出實例。以下的例子，是algebraⅡ中「複數篇」的第一個單元：「虛數單位i（The imaginary unit i）」。因為國外的評論大多集中在小學的部份，所以我選了一個中學的題材；至於選該篇中的「第一單元」，則是為了避免涉入太多技術性的內容，以便不大熟悉「複數」的讀者也可以輕鬆閱讀。

另外，我也覺得負責任的討論，不能只檢討別人；所以除了不得不先簡單介紹可汗這個單元的內容之外，本文主要是呈現我所提出的「對案」，也就是針對同樣這個標題，大概同樣長度的影片，我所設計的一個「腳本」──評論可汗的教法反倒成為其次了。

這麼說來，也許先跳過以下的「簡介」，直接去讀我的腳本（請見下方「二、i 的出場—我所設計的腳本」），比較更能掌握整件事情的理路（虛數的概念雖然基本，但涉及的思想還是有點複雜）；當然，我更希望讀者也去看看可汗的影片（https://goo.gl/UAYp4b），兩相對照，應該會覺得非常有趣。

一、可汗影片說了些什麼？

可汗的「虛數單位 i」這個單元，由五段影片構成，各段的內容大概是：

1. 介紹i和虛數（introduction to i and imaginary numbers）（5：20）

影片一開始就說 i = 虛數單位（imaginary unit），但沒有一個字解釋什麼是虛數，也不說所謂「單位」是指何而言。然後把i定義為「平方等於-1」的數，沒有一個字提到這個數到底是否存在；稍稍提了一下「也可以說它是根號-1」，強調「這樣說沒有錯」。接下去就從 i 的零次方，一次方，二次方…逐步計算i的各個方次。

2. 計算i的任意次方（calculating i raised to arbitrary exponents）（6：20）

接續前一段影片，繼續算i的更高次方；指出可以利用i的4次方等於1來簡化計算。這整段影片步驟講得非常仔細，舉了很多例子，也用了「i 的 4k 次方」=「（i 的4次方）的 K 次方」做說明。但非常奇怪，講者並沒有教小孩用4去除指數，例如算 i 的 7321 次方，就把 7321 寫成 7320+1，但並不教小孩那7320（它是 4 的倍數）是從哪裡來的，每個例子都是如此。

如果說這很基本，學生應該自己發現如何得出 7320 這個 4 的倍數，那「i 的 3 次方是 - i」的計算更基本，為什麼還非得一步步算給學生看？既然假設學生連最基本的演算都要教，那為什麼在這個關鍵的問題上，反而又留一手呢？

3. 練習題─內容是算i的幾次方，選錯答案會有提示

4. 負數的虛數根（imaginary roots of negative numbers）（4：04）

內容是簡化「」，強調它代表-52的「主平方根（principal root），或「複數平方根函數的主要一支（principal branch of complex root function）但並沒有一字說明這些名詞到底是什麼意思：所謂「主」或「主支」是指何而言，甚至連「平方根總是有兩個，所以從其中挑一個為主平方根」這樣的背景都沒有解釋。（關於這些的解釋，見下文「我的腳本」）

從這兒開始，我強烈地感受到講者並不是想要讓學生聽懂，而只是想要讓別人感覺到他有修過「複變函數論」。這樣說是有理由的，因為在網路上還可以看到這段影片的舊版本（http://goo.gl/Lp7jFp），其中是直接把 i 定義為「」，這應該會受到數學家的批評，所以新版或許是針對那些在數學上的批評所做的回應。但講者並沒有能力把事情的原委對學生講明白，結果就變成好像在對教授做報告。

在不斷強調「主平方根」聲中，影片做了「」的演算；同時在旁提醒：如果根號裡面是一個負數乘一個正數，你可以把根號拆開；但如果根號裡面是兩個負數相乘，就不可以這麼做（舉不等於為例），但並沒有任何一字說明其理由為何。

5. i 做為 -1的「主平方根」（i as the principal root of -1）（6：44）

這段的一開始就說：有人會告訴你「i =」是錯的；接著再用上段說過的「如果根號裡面是兩個負數相乘…」那一套，說明「有人會告訴你」的才是錯的。

後面又重覆說了一大堆「主平方根」的話，但我實在看不出其中有任何理路，所以也很難幫講者在此重覆一遍。

看起來，主要還是在辯解別人對「i =」的批評，但講者恐怕並沒有抓到問題之所在，所以聽不出他到底想說什麼。這是許多「當年的好學生」的共同的特徵：善於掌握答案，但無法掌握問題。

以上，是這廿幾分鐘影片的簡介。最可怕的是，它會讓不太用心的學生以為自己「看懂」了。因為它把主要的問題都掩蓋起來，並且把原因和結果混在一起講，讓學生想要問都不知道從何問起；同時，又以不附帶理由的「演算規則」，讓學生自以為知道了怎樣是對怎樣是錯。簡單地說，這是教奴才、而不是教主人的方法；在這種教學下，學生會習於接受指令，並喪失想像與提問的能力。

一場好心的挽救小孩的舉動，到底為什麼會淪落至此？在〈可汗學院為什麼不肯精進教學〉一文裡，我認為主要是主事者的「名校菁英」心態所致；如果讀者還不能領會這層意思，那麼就請對比以下的教法。

二、i 的出場—我所設計的腳本

因為是「腳本」，所以既有「旁白」，又有「畫面」，兩者在同步的時候要有所配合。以下的文字敘述，就是旁白的內容的精要，實際錄製的時候，應該要更口語一些。文字敘述中所夾註的數字，則代表口述到此的時候，畫面上將出現「數字所代表的那一行」；換言之，下面的「畫面」雖然已經呈現了所有的「行」，但在影片播放的時候，各「行」是配合旁白依號碼序逐步出現的。閱讀本文時，則請讀者在旁白的「夾註數字」和畫面中「數字所標示的行」之間，自行參照。

1. 無中生有的 i

〔旁白〕

A：我們知道任何實數 x 的平方，也就是 x 自己乘自己，答案都不可能是一個負的數；所以，（1）是不可能的；所以，（2）這個方程式，在實數的範圍裡是無解的。

A：面對（2）這個無解的方程式，我們用「無中生有」的方式，「憑空捏造」一個「想像（imaginary）的數」，用 i 代表，做為它的解。

B：這麼說來，把 i 代入（2）這個方程式，等號必須要成立（3）。

A：對極了，但 i 不是實數，所以英文把它叫做 imaginary number，想像出來的數；中文把它叫做「虛數」，也是強調它不是「實」的數。

B：可是，真的可以這樣無中生有，憑空捏造一個數嗎？

A：這種事情，我們是有「前科」的。記得在小學的時候，如有人問你（4），你也會說不可能，因為心裡只有正數；後來我們「無中生有，憑空捏造」了負數，就可以說-1就是解了（5）。

B：那麼，一張得了0分的考卷，我也可以「無中生有，憑空捏造」把它說成是100分嗎？

A：我知道你的意思，「無中生有」的事情，固然可能是偉大的創造，但也可能是無恥的謊言

B：所以，我們怎麼區分哪個是創造，哪個是謊言呢？

A：其實沒有那麼難，創造出來的東西，雖然是從前沒有的，但它不能和舊的事實相衝突；謊言呢？則必須靠著不斷製造新的謊言來維持。

B：「製造新的謊言」！這正是我所擔心的；我們「無中生有」了負數以後，你就有了新的問題：誰的平方會是-1啊？（6）

那麼，「無中生有」了 i 以後，我當然想問：誰的平方會是 i 啊？（7）—難道又要「無中生有」另一個數嗎？

A：好問題，容許我為你演示i的威力。i 這個新生事物，必須和舊有的數相融和，所以，只要有了 i，就應該有1+i，或其它實數和i相加或相乘，我們把這些跟著i不能不跑出來的數（8），就叫做複數。容許我演示 1+i 這個複數的平方，注意，我們是依照原來實數中既有的平方公式來算（9），再把2除到等式左邊，再放到平方裡面（10）。

〔畫面〕

B：哇！竟然找到「平方等於i」的數了，竟然解出（11）了，竟然不必「無中生有」另一個數，只靠原來的 i，就找到 i 的平方根了──這也未免太神奇了吧？

A：讓我告訴你更神奇的事。一旦建構了複數系（8），任何這樣，包括著單純的 x 幾次等於一個複數（12），甚至是係數裡面有複數的方程式（13），不論是幾次方程式，在複數系中都可以解；換言之，一旦有了 i，創造新數這件事情，就算是走到頭了，從此再也不必發明新的數了─這件事情，不是我隨口亂掰，而是可以嚴格證明的，就叫做「代數基本定理」（14），不過這超出了中學階段的數學，要在更專門的課程裡才會學到。

B：這讓我想起舊約聖經的第一句話，就是創世紀的開頭，那句話是「神說：讓那兒有光，那兒就有了光」（15）；接下來的幾天，神便創造了世界！然後，這個世界裡的事情就會自己運行，不再需要神來照顧了（這是比喻有了 i 之後，所有方程式都有解，不必再造新的數了）。

A：然而，這位創造一切的神，也是人所創造的！生而為人，我們的本質就是想要創造，想為這世界增添新的事物，同時，標記我們自己曾有的短暫的存在。

B：這麼看來，當人說：讓那兒有 i，那兒便有了 i（16），並因此而構造了整個新的複數的世界，這也不是什麼怪事，甚至是人類文明發展中不可避免的事了。

〔畫面〕

2. 互動式練習（先核對答案，如果答錯了，可以查看提示）

（1）計算：（1－i）2，（-1－i）2，（-1＋i）2 ──提示：（a+b）2 ＝？（a-b）2 ＝？

（2）計算：（1＋i）4 ，（1－i）4 ，（-1－i）4，（-1＋i）4──提示：先平方再平方，不就四方了嗎？

（3） x2＝4，有兩個根，分別是___和____──提示：找一些數代進去試一試

（4） x2＝-1，也有兩個根，一個是i，另一個就應該是___──提示：先猜一猜，再驗証它的平方看看是不是-1

（5） x2＝2i，也有兩個根，分別是___和____──提示：回頭看一下剛才做過的練習

（6） x4＝-4，應該有四個根，分別是___，____，____和____──提示：回想一下「根」是什麼意思

〔解答〕：（1） -2i；  2i；  -2i   （2） -4；  -4；  -4；  -4   （3）2；  -2   （4）-i（5） 1＋i；  -（1＋i）

（6）（1＋i）；（1－i）；（-1－i）；（-1＋i）

上面x4＝-4並不是特例，之後的課程裡，我們會提供「xn=任何複數」的解法

3. i 和

〔旁白〕

B：我忽然想起好像被你騙了：為什麼要「無中生有」一個 i 呢？就像解 x2＝2，給 2 加上根號就是解（1）；同樣的道理，x2＝-1的解，不就現成的是嗎（2）？

A：你可能是被騙了：x2＝2 這個方程式有沒有解，也曾經困惑古人；亞里斯多德和他的學生，花了很多力氣討論「有沒有一個面積為 2 的正方形」（3），因為當時大家只知道有理數，但找不到一個有理數的平方等於 2──沒找到之前，加上也不知要代表什麼。

B：難道 x2＝2 的解，也是「無中生有」而來的嗎？

A：確實的，人們後來「創造」了無理數，這當然是另一個故事了，而且知道它的解大概是1.41421356...，但因為它不循環又沒有規則，根本無法書寫，才用去代表它；只是一個符號──符號是用來代表已經有了的東西，符號本身並不能讓沒有的東西變成有（4）。

B：你說的是還沒有創造出來之前的事，現在既然已經有了根號這個符號，我們可以直接就用代表那個想像中的數，或無中生有的數，又有何不可呢？放著舊有的符號不用，為什麼一定要弄出一個新的符號 i，再去想 i＝對不對？

A：你的這個質問，其實是問到了一個要點；這個要點，是我們之前還沒有時間好好去解釋的。讓我們把根號的意義再確認一次，剛才說，我們先確定了 2 有平方根，然後才把它叫做；但2其實是有兩個平方根的，還有一個是 -1.414…（5），那麼，是要代表哪一個呢？

〔畫面〕

B：難道不能讓既代表這個，也代表那個，就是讓＝±1.414…嗎？

A：你問到事情的另一個要點：我們用這個符號去代表一個數，就符號的功能而言，一個符號最好只代表一個數，所以，要不就代表 2，要不就代表 -2，恰恰就是不能等於 ±2 （6）──這就好像如果用 π 代表了圓周率，就不能再用它代表別的數。

B：可是我們常常看到「若 x2＝4，則 x＝±2」（7），x不就等於 ±2 嗎？

A：你問到了第三個要點：x 是個未知道，它並不是代表某個固定數的符號，說 x＝±2，是說它可以是 2，也可以是 -2；但是「一個」數，它不能是這個又是那個！

A：因為一個正數，例如 4 或 2，的兩個平方根，剛好一正一負，所以我們就約定，讓根號代表正的那個平方根（8），也有人就把正的平方根稱為主根（principal root）；這樣約定之後，所有正數的根號，都有了一致的意義，就不會產生混淆了。

B：照你說的這樣，x2＝-1的兩個根 i 和 -i，也是一正一負，所以就應該等於正的那個 i，這不是順理成章嗎？

A：你問到了第四個要點：這事情的「理」恰好就是沒有那麼「順」，因為，i 是我們「無中生有，憑空捏造」出的來「想像的」「虛的」數，所以，它和實數中的0沒有大小之分，也就無所謂正負；說 i> 0 或 i< 0 都是沒有意義的（9）─所以，當我們要決定代表 -1 的哪個平方根的時候，沒有辦法像處理那樣，指定它代表「正」的那個根。

〔畫面〕

（6）      ＝±1.414...，＝±2，都是不行的，因為一個符號只能代表一個數

（7）      「若x2＝4，則x＝±2」是OK的，因為x只是未知數，並不代表固定的數

（8）      約定：√正數代表一正一負兩個平方根中，正的那一個：例如，＝2，≠-2；

＝1.414…，≠-1.414…；正的平方根，也稱為「主平方根（principal root）」，以便和另外負的那個平方根有所區別

（9）      虛數無法比大小，故無所謂正（大於0）或負（小於0），「i> 0 或i< 0 」都是沒有意義的

B：i雖然沒有正負之分，但 i 前面代著正號（即 i＝+i），-i前面代著負號；我們可以指定代表「帶正號的 i」（10），不是代表-i，不就好了嗎？

A：你說的對極了，我們正是這樣約定的；但是，這整個想法有一個前題，就是你得先「無中生有，憑空捏造」出一個 i 來，然後把定為 i ──而不能像你一開始想的，把 i 這個概念省去，直接用代替它；因為，本身的意義（代表 -1的哪個平方根），還妾身未明呢（11）！

B：原來如此，原來 i 的出場，是不可或缺，無法替代的；如果有人把 i 定義為，他就一整個弄錯了

A：當我們說「讓哪兒有 i，那兒就有了 i」，這個創造的意義，遠比人們能夠想像的深遠；把i定義為的人，並不真的知道自己在說什麼。

〔畫面〕

（10）約定：＝ +i，≠-1；

（11）但在這樣約定之前，必須先創造i；否則，無法確定代表-1的哪個平方根

4.     是否等於根號（待續）

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圖片攝影／曾宥渝