i 可以怎麼出場（下）

◎史英 

☛ 建議先閱讀〈 i 可以怎麼出場？（上）〉

二、i 的出場——我所設計的腳本

關於「二、4.」說明：因為是錄製影片的腳本，所以有旁白及螢幕兩個部份，在本文的（上）中，我們採取了把螢幕內容另外列出的呈現方式，結果發現不利於閱讀；所以現在改為「用特殊顏色和字體」直接呈現在旁白文字中，意思是：當旁白到那些文字時，影片螢幕上將出現那些文字讓觀看影片的人可以看到，除了聽到之外。

4.    是否等於

A：之前說到，使用之前，必須先有所約定；因為任何數的平方根總是有兩個，根號到底是代表兩個中的哪一個？總要事先說好。

B：是的，我們已經約定：代表2，而不代表 -2；代表 i，而不代表 -i。
A：那麼，依樣畫葫蘆， 也就代表 2i，而不代表 -2i吧！（和一樣，不取 i 前面帶負號的那個)

B：不過，這麼一來，我們就遇到了一個怪事：

                    

              

A：這並不奇怪，這只是前述約定的必然結果；其實，我們看慣了

它之所以成立，也是因為約定根號取正值；不信的話，可以大膽改變約定看看…

B：那我就重新約定「都代表負的那個平方根」，也就是根號 …

   ——哇，居然也有這種事： 

      

B：我還以為「」這個公式，只在a,b為負的時候才有問題。

A：是的，一般教科書上都這麼說；但即使a,b都是虛數，上式也可能成立。

A：例如，就在上式中令a=b=2i；因為我們曾算過2i 的兩個平方根是 正負(1+i)，

B：我們就來算算看：

 
    
               哇，等式又成立了

A：上式成立，當然是因為我們取；不然的話——

B：不過，看起來上式即使不成立，也只是差個負號而已。

A：對的，這是因為不論a，b是什麼數，即使是複數

B：既然 和 的平方一樣，它們當然最多就差負號了。

B：這樣說來，、

也都只是湊巧罷了。

A：或者說，也都只決定於「 代表哪個平方根」而已。

B：其實，如果是 4 的平方根，直接就說是 ±2，如果是 2i 的平方根，直接就說是 ±(1+i)…

   又有什麼不可以？不去用到 這個符號，根本就不會有這些麻煩。

A：說得對極了，要不是為了類似 2 的平方根（即：±1.41…）欠缺一個書寫方式，我們根本不必發明；

所以，以後除非必要，我們都盡量少用 來表達，例如什麼 ， 這種寫法，實在都是可以省了。

 

三、結語

本文（上）（下）用了許多篇幅， 是希望讀者能透過兩相對照， 看出我們的教法和「可汗學院」所提供的教學， 二者之間的重大差異。

至於如何對照， 這是讀者的特權， 我實在不宜再多說什麼。只有一點和「演算」有關的， 也許可以再提一下: 雖然我們的教學重在思想和哲學， 但挑選 為例， 除了示範新來的數如何參入原有的演算規則， 以及藉此發現i 的平方根之外， 也是為了細細演示基礎計算， 並強調計算之重要。而可汗學院選擇計算 i 的幾百幾千次方， 表面上看是重視計算能力， 但在 i 出場的當兒這樣做， 其實沒什麼道理。

其實， 所有的差異都不僅是在形式上 （我們的教法用了對話模式）， 不只在內容的深淺 （可汗的教學一點思考性也沒有）， 也不完全在錄製影片的精緻度的要求上， 而是在， 基礎教育的目標到底應該定在哪裡？ 是為了讓學生們趕快通過各種檢定或測驗？ 還是為了年輕人心智思想的啟蒙？ 這同時涉及， 我們對一般的孩子們的未來， 給予怎樣的想像與設定。

  

無疑地， 我們是把每一個孩子， 都想成國家的主人， 將要決定他所屬的這個國家的所有人的命運， 即使他將來只做一名清道夫。正是在這一點上， 明白地顯示了我們是「人本主義者」， 而他們是「工具主義者」。至於這個差異的根源， 我有一個解釋在〈可汗學院為什麼不肯精進教學？〉一文中， 而此文原本就是那篇文章的註腳。

圖片攝影／曾慶怡